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; L% q( v# L ^" J# Q$ W0 D% Q哈哈，有没有发现啊，这个就是最终的结果，小球会呈现出一个中间多，越往两边越少的类似于一个钟形的形状！这就是概率学中所说的“钟形曲线”！我们不是要说百家乐吗，好我就插个队，排列一组数据出来，大家就会知道钟形曲线在百家乐中是什么样子了。 * t' t2 N4 y1 X% d* L* y + `2 K6 n4 I' U* p2 ?+ j7 [' C5 w& H+ C8 { n! V
很奇妙的是，按照5手(当然可以是任意手)百家乐的胜率情况来排列的话，刚好就是一个标准的“钟形曲线”！我们不难看到，多数情况下，我们就是5胜3或是5胜2的居多，5胜4和5胜1次之，5胜5和5胜0最少。各位看到了什么？你的百家乐策略在制定的过程中又依据了什么？得到了怎样的启发？此是后话，并不在本篇之列，咱不能说的太杂了。不要跟我说你打了32个5手完全不是这样的，你打320个5手甚至更多个5手试试？咱不抬杠哈！ - `/ s$ k0 ^* P" j3 b1 U( I2 e5 O) @+ V* G+ H1 l
回到正题上来，扯偏了好像。高尔顿板钉，由于看起来是个二维的空间，实际上可以作为一个一维空间来看，因为小球的运行只是向左或是向右，向下运行是铁定的，即垂直方向并不存在随机，向下的运动可以看作是我们打百家乐时的手数，是定向地向前1手1手地递增，也可以看作是个时间轴，我说明白了没？我们完全可以不去考虑。这样的话，这个试验就可以看作是一个一维无规行走的例子。 4 [; H. Y8 r5 a 3 n0 T C8 O! c. I$ ]7 {' ` 酒鬼失足6 `0 `5 N5 ^& T; ^% i
$ H7 M- [( q @3 H; n2 l' ^5 s 重归酒鬼的问题。假如这个酒鬼是站在距离悬崖边1步的位置，我们可以想像成是有人故意把他带到这个位置，然后撒手不管他了这种情况，也可以看作是酒鬼当漫步到这个位置时，我们开始来考察他。接下来，这个酒鬼开始漫步！那么，问题来了，他掉下悬崖的概率是多少呢？为了让过程变得更加简明容易理解，当然是更容易考察，我们再假设酒鬼的随机漫步是在一维空间进行，即，只向靠近悬崖和远离悬崖方向行走，可以想像成一个既不能上、也不能下，也不能左行、也不能右行的封闭胡同里行走，一连是悬崖，一连是没有尽头的安全地带，哈哈。。。。科学需要假设，不要抬杠现实里有没有这样一条胡同，这里只是想把问题简化。1 B. t, ` w# W( H6 f
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按照上面的简化，现在的问题变成了一维的空间。假设，悬崖所在的点为0（可以把这个一维空间看成是一条直线，也可以看成是平面坐标系的X轴原点位置），那么，是不是随机变量的值一旦达到0，酒鬼就掉下悬崖了？这里我来提个问题：设，酒鬼向右走（远离悬崖方向）的p概率为2/3，向左走（靠近悬崖方向）的概率1-p为1/3，那么，酒鬼从1所在的点做酒鬼漫游运动，他有多大的概率会掉下悬崖（别跟我说酒鬼向左向右走的概率都是1/2，我们现在是在假设）？! B) |5 o8 H; F( |
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u' }5 y4 W$ y' L0 E哈哈。。。。这么简单的问题也拿来考我啊，这不侮辱我的智商吗？酒鬼从1的地方只要向左走1步就掉下去了，向左走的概率是1/3嘛，这不明显掉下悬崖的概率是1/3吗？% X X4 Z: E* v
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好的，答案收到！如果你真的只是这样来考虑问题的话，我现在是真的想侮辱下你的智商了！答案果真如此吗？我承认，你的思维很正常，但这里的1/3是他头一步出脚方向的概率！如果我这样问，这个酒鬼第1步掉下悬崖的概率是多大？恭喜你，你答对了。但我没这么问好吧！这里的情况非常复杂的。比如，他第一步向右走，第二步又向右走，然后接着左行3步，掉下去没有？！这也就是说，即使酒鬼漫步到了3的地方，又或者离悬崖更远的位置，他仍然有掉下悬崖之可能，对不对？第一步掉下悬崖的概率为1/3，如果第一步没掉下去，我们就要加上第二步掉下悬崖的概率，当然第二步又没掉下去，我们还要加上第三步掉下悬崖的概率。。。。。这样，这个酒鬼掉下悬崖的概率无论如何，都是要大于1/3的！) i: {% ]# q- S2 M5 Z) U E6 Y
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设酒鬼从1的地方掉下悬崖的概率为P1，那么，这个概率就是我们要求解的答案，即酒鬼从1的地方漫步掉下悬崖的概率了。当然，P1也可以是酒鬼从任意位置k漫步到k-1位置的概率。（k-1）表示左移一步。值得注意的是，酒鬼走1步与位置移动1格的不同。酒鬼从k到k-1虽然只有1格，但实际走起来可能要很多步。再把2的地方漫步跃落悬崖的概率写作P12（因为酒鬼如果第1步没掉下悬崖而漫步到了2的地方），把从3的地方小叔跌落悬崖的概率记作P13。。。。。。把从n的地方小叔跌落悬崖的概率记作P1n。。。。。。不难得到如下等式：$ B- V; s' R) {/ d
, i, o3 D' Y( E P1=1-p+pP12( b, h! s9 u0 k [1 r1 G$ u5 \
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由此可以解出P1=1，或者P1= (1-p)/p0 q: ^/ [6 ~$ o+ |; e# c* H/ a. ?
. l4 v: n3 R' o! y0 j) ? 从上式不难看出，当p=1/2时，P1=1，我们知道，P1=1说明酒鬼就跃入悬崖了；当p小于1/2，P1>1（Pn的情形也是一样的），可以概率最大值只能是1了，p是酒鬼向右（就是朝悬崖反方向或者远离悬崖方向游走的概率）。所以，如果酒鬼朝远离悬崖的方向的概率小于1/2的话，无论他从哪个点开始游走，酒鬼最终是必然要掉下悬崖的。如果p=2/3，P1=1/2，Pn=(1/2)n！这里我们看到，n的值越大，即酒鬼初始点离悬崖越远，他掉进悬崖的可能性也就会越小！ $ U+ \& H* P$ s. L/ `( l" \. r* U+ t( D! c3 V( E6 U; o
上面说的是无规行走在酒鬼失足上的具体应用。借着这个问题，我们还可以运用在赌徒破产问题上。赌徒破产问题也叫赌徒输光定理。为了简化问题，我直接引用一段百度百科现成的描述：“概率论所提供的有趣定理：在“公平”的DU博中，任一个拥有有限赌本的赌徒，只要长期赌下去，必然有一天会输光。在一次DU博中，任意一个赌徒都有可能会赢。谁输谁赢是偶然的。但只要一直赌下去，输光或者庄家破产跑路是必然的。”详细的论证过程我这里就省略了，大家可以搜一下答案，也可以参照上面的酒鬼失足问题，论证过程大同小异。- z+ K* d# ^" S1 T* N5 R
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赌徒破产 4 F4 l; m8 X% Z T- d3 K / P& k6 s" f: ~: v3 K. e 概率问题的最初定向研究，缘于游戏。时至今日，概率学的研究已经相当深入，许多问题已经得到正确的解，例如无规行走。无规行走是一个数学模型，其应用范围非常之广，酒鬼漫步失足悬崖是肯定的，不管你如何来描述它都是如此。现在来说赌徒破产问题，这实质也是无规行走的一个例子。假定我们中间有这么一员（当然是赌徒了）在线上或是线下菠菜，赢的概率是p，输的概率就是（1-p），每次的赌注为1元，初始本金是n元，胜了注码加1元，输了注码减1元。现在的问题是，赌徒输光所有本金的概率是多少？这个问题就是无规行走，跟前面我们说的酒鬼失足问题可以看作是同一个数学模型。本金n相当于酒鬼离悬崖的位置，本金越大，离悬崖越远。掉下悬崖的地方，即是赌徒本金清光的时刻。答案也已经有了，即当赌徒胜率p=1/2时，我们是必然会输光本金的！# C: Y/ v5 t: l+ Y4 O6 L