标题: 试论赌徒输光定理对游戏胜率、本金、注码的影响（转） [打印本页] 作者: 人生如赌 时间: 2023-8-17 23:38 标题: 试论赌徒输光定理对游戏胜率、本金、注码的影响（转） 赌徒输光定理是概率问题，也是是数学问题，可能会有趣，也可能会枯燥。鉴于要照顾到会感到枯燥的同学，我想我今天来通过概率学中的几个有趣的问题来传递几个概率方面的常识，这样可能会让帖子更容易阅读和体会，进而再逐渐深入到我今天所要说的中心问题，即赌徒输光与游戏胜率、本金、注码的影响。6 I' Y5 W6 N) W" E' M
/ @# r/ X1 `* y' Z 酒鬼漫步 # }% I4 D- Y" M& C0 t9 g - k8 m( K% k. B5 A* m 我们都知道，人一旦喝醉了，那是肯定没有了意识的。有的博友可能会说，“我某次某次在某地喝醉了就很有意识”，我要说，那你就是还没有喝到我今天这里所说的“醉”。我今天说的酒鬼当然是喝得没有意识的那种了。话说大街上，可以是在南京，也可以是在武汉，可是是在任何地方，有这么一个醉鬼，他完全迷路了！每次走到一个十字路口（也可以是丁字路口或任意有岔路这样子的地方都行），他都会选择一个能走出去的出口，包括变换方向。因为是酒鬼，完全没有了意识，所以这个选择是完全随机的了。。。。直到再次遇到路口，他再次做出选择。。。。。。假如酒鬼一直都没有醒来，当然会如此一直继续下去！回过头来，或者从一个正常人的视角来看一下，这个酒鬼他走过的路径会怎样呢，具有怎样的特点呢？这不是我想出来的，是数学家们发现的。这样就有数学家对这个问题进行了深入的剖析和专门的研究。这个就是被人们称为“酒鬼漫步”，也叫无规行走、随机游走。* d+ T$ g; \0 G0 N1 C3 y0 |' y+ I
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随机过程, ?5 X4 W& [9 L. k+ e- Q1 F* n$ r
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既然是数学家们参与了，肯定研究就是定量的，也是会有个结果的。那现在我们知道什么是无规行走了吧？接着来看下它的特点。无规行走实际就是一个随机过程。既然是随机过程，就跟概率学中所有的随机现象一样，有一个叫做“随机变量”的概念。就说这个酒鬼吧，影响他决定往哪个方向走的一系列因素，都可以看成是随机变量。比如，当时可能北边吹来一阵清风，感觉非常地爽，他可能就走向北边了；但也有可能当时他走的累了，感觉往南边走更活力，于是他也可能往南行走；也可能是南边飘来了股酒香，于是他就奔南边去了。。。。。清风、酒香，就是酒鬼漫步的随机变量。再比如抛硬币，每抛一次，就会产生一个随机变量，这个随机变量可以是力度、角度、空气密度、风速、温度、湿度。。。。。等等的微小变化。重复抛掷下去，就产生了一系列随机变量，这个随机变量的总和（数学上有个专门的术语，叫“集合”，这个更准确），就形成了一个随机过程。 * _8 u) t2 s+ w* q" I 8 Y& Q$ I, X# o. O6 x 帖子并非百度来的，所以我想在这里再着重说到一点，以加深理解。随机过程必须要有随机变量，换言之，没有随机变量，也就无所谓随机过程。再举个例子，百家乐的庄闲，如果我们每一靴牌都拿一幅新的，不洗牌，不切牌，直接发牌，会怎样呢？很明显了，结果都是一样的，每靴牌的结果相同，大路相同，点数也相同，没毛病吧？之所以说百家乐是随机的，因为在发牌前经过了洗牌、切牌的处理，而这每次的切牌、洗牌又因为操作的人不同、切的厚薄不同、拿牌的力度不同等等因素，所打乱牌张的程度或是顺序就会不同，这就有了一个洗切这样的随机变量，百家乐庄闲才变得“随机”起来！即百家乐的庄闲是随机过程。如果不是酒鬼，换成一个正常的人，就形成不了无规行走，即没有随机变量，行走过程就不随机。假如科学真的发展到可以精确地，把影响硬币运行轨迹的所有参数都去掉，每次以绝对的力量、角度。。。。。来抛掷硬币，那么抛硬币还随机吗？如果让一个训练有素的高手来刻意重复切牌洗牌，百家乐的庄闲还随机吗？这里我主要强调随机变量对于随机过程的重要性！这个试验非常简单，在一块木板上呈梅花状均匀地钉满钉子。图中之所以把钉子钉成一个三角形，那是因为没钉钉子的地方小球根本滚不到那里去。然后拿小球从上面的入口放进去，小球经过第一颗钉子，随机向左或是向右，然后经过第二排钉子，再次随机选择向左或是向右。。。。。。。最终会是怎样的呢？看下面的动画（图片和动画均来自百度图片，类似的图片很多）。他奶奶的，这让我想起了上小学时候在街上玩的这个游戏，跟这个板子是一模一样的，一毛钱投一颗球，大奖全他妈在两边，中间的奖品全是不值1毛钱的！我就纳闷了，我怎么就搞不出个大奖来呢，原来原因全在这里了！不一样的是，我长大了，我明白了，还有好多朋友长大了，仍然没搞明白当初是为啥输了！ : D! A+ u9 S" P1 A. T' ^% h I ' L: |7 d I0 N% D# ]0 P4 I% @( L0 z9 ~
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哈哈，有没有发现啊，这个就是最终的结果，小球会呈现出一个中间多，越往两边越少的类似于一个钟形的形状！这就是概率学中所说的“钟形曲线”！我们不是要说百家乐吗，好我就插个队，排列一组数据出来，大家就会知道钟形曲线在百家乐中是什么样子了。7 v' {* C" J5 U5 a5 T
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很奇妙的是，按照5手(当然可以是任意手)百家乐的胜率情况来排列的话，刚好就是一个标准的“钟形曲线”！我们不难看到，多数情况下，我们就是5胜3或是5胜2的居多，5胜4和5胜1次之，5胜5和5胜0最少。各位看到了什么？你的百家乐策略在制定的过程中又依据了什么？得到了怎样的启发？此是后话，并不在本篇之列，咱不能说的太杂了。不要跟我说你打了32个5手完全不是这样的，你打320个5手甚至更多个5手试试？咱不抬杠哈！- G+ ~/ O7 P7 A$ r S; U
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回到正题上来，扯偏了好像。高尔顿板钉，由于看起来是个二维的空间，实际上可以作为一个一维空间来看，因为小球的运行只是向左或是向右，向下运行是铁定的，即垂直方向并不存在随机，向下的运动可以看作是我们打百家乐时的手数，是定向地向前1手1手地递增，也可以看作是个时间轴，我说明白了没？我们完全可以不去考虑。这样的话，这个试验就可以看作是一个一维无规行走的例子。 ) _! C+ [( V# F+ x8 M% e0 K! O5 c ' G* v) Z7 Z9 T. @+ k1 E 酒鬼失足 2 f5 d. t$ z+ h) l " X; h2 Y" s" y 重归酒鬼的问题。假如这个酒鬼是站在距离悬崖边1步的位置，我们可以想像成是有人故意把他带到这个位置，然后撒手不管他了这种情况，也可以看作是酒鬼当漫步到这个位置时，我们开始来考察他。接下来，这个酒鬼开始漫步！那么，问题来了，他掉下悬崖的概率是多少呢？为了让过程变得更加简明容易理解，当然是更容易考察，我们再假设酒鬼的随机漫步是在一维空间进行，即，只向靠近悬崖和远离悬崖方向行走，可以想像成一个既不能上、也不能下，也不能左行、也不能右行的封闭胡同里行走，一连是悬崖，一连是没有尽头的安全地带，哈哈。。。。科学需要假设，不要抬杠现实里有没有这样一条胡同，这里只是想把问题简化。/ L% r4 t/ p& n& t
; G& `) c9 K9 r/ x0 Z6 D' P7 V 按照上面的简化，现在的问题变成了一维的空间。假设，悬崖所在的点为0（可以把这个一维空间看成是一条直线，也可以看成是平面坐标系的X轴原点位置），那么，是不是随机变量的值一旦达到0，酒鬼就掉下悬崖了？这里我来提个问题：设，酒鬼向右走（远离悬崖方向）的p概率为2/3，向左走（靠近悬崖方向）的概率1-p为1/3，那么，酒鬼从1所在的点做酒鬼漫游运动，他有多大的概率会掉下悬崖（别跟我说酒鬼向左向右走的概率都是1/2，我们现在是在假设）？% d9 X$ u! T5 Z/ d
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! | m1 i' P p+ h- k; o哈哈。。。。这么简单的问题也拿来考我啊，这不侮辱我的智商吗？酒鬼从1的地方只要向左走1步就掉下去了，向左走的概率是1/3嘛，这不明显掉下悬崖的概率是1/3吗？ 3 f* V5 \: X! t3 L7 @9 Z( X 8 A' C0 {4 d) d8 j7 e' ?$ M 好的，答案收到！如果你真的只是这样来考虑问题的话，我现在是真的想侮辱下你的智商了！答案果真如此吗？我承认，你的思维很正常，但这里的1/3是他头一步出脚方向的概率！如果我这样问，这个酒鬼第1步掉下悬崖的概率是多大？恭喜你，你答对了。但我没这么问好吧！这里的情况非常复杂的。比如，他第一步向右走，第二步又向右走，然后接着左行3步，掉下去没有？！这也就是说，即使酒鬼漫步到了3的地方，又或者离悬崖更远的位置，他仍然有掉下悬崖之可能，对不对？第一步掉下悬崖的概率为1/3，如果第一步没掉下去，我们就要加上第二步掉下悬崖的概率，当然第二步又没掉下去，我们还要加上第三步掉下悬崖的概率。。。。。这样，这个酒鬼掉下悬崖的概率无论如何，都是要大于1/3的！% I5 o- M& Q; C( D/ t% W. H
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设酒鬼从1的地方掉下悬崖的概率为P1，那么，这个概率就是我们要求解的答案，即酒鬼从1的地方漫步掉下悬崖的概率了。当然，P1也可以是酒鬼从任意位置k漫步到k-1位置的概率。（k-1）表示左移一步。值得注意的是，酒鬼走1步与位置移动1格的不同。酒鬼从k到k-1虽然只有1格，但实际走起来可能要很多步。再把2的地方漫步跃落悬崖的概率写作P12（因为酒鬼如果第1步没掉下悬崖而漫步到了2的地方），把从3的地方小叔跌落悬崖的概率记作P13。。。。。。把从n的地方小叔跌落悬崖的概率记作P1n。。。。。。不难得到如下等式： W, D. P' t8 N. A0 h: b& D$ j ) ^+ F' R6 O! Z2 {: R P1=1-p+pP129 H2 A; d7 b, `) b
6 c6 f; m+ y7 E5 z. C. M 由此可以解出P1=1，或者P1= (1-p)/p! v" N! J2 b/ T- e' m' `
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从上式不难看出，当p=1/2时，P1=1，我们知道，P1=1说明酒鬼就跃入悬崖了；当p小于1/2，P1>1（Pn的情形也是一样的），可以概率最大值只能是1了，p是酒鬼向右（就是朝悬崖反方向或者远离悬崖方向游走的概率）。所以，如果酒鬼朝远离悬崖的方向的概率小于1/2的话，无论他从哪个点开始游走，酒鬼最终是必然要掉下悬崖的。如果p=2/3，P1=1/2，Pn=(1/2)n！这里我们看到，n的值越大，即酒鬼初始点离悬崖越远，他掉进悬崖的可能性也就会越小！# d% v/ ?& a; B
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上面说的是无规行走在酒鬼失足上的具体应用。借着这个问题，我们还可以运用在赌徒破产问题上。赌徒破产问题也叫赌徒输光定理。为了简化问题，我直接引用一段百度百科现成的描述：“概率论所提供的有趣定理：在“公平”的DU博中，任一个拥有有限赌本的赌徒，只要长期赌下去，必然有一天会输光。在一次DU博中，任意一个赌徒都有可能会赢。谁输谁赢是偶然的。但只要一直赌下去，输光或者庄家破产跑路是必然的。”详细的论证过程我这里就省略了，大家可以搜一下答案，也可以参照上面的酒鬼失足问题，论证过程大同小异。7 G5 T u8 g' I: M; s, k4 t1 Y4 j
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赌徒破产 4 Q$ K& b7 Q( { `/ v8 N. a& t( a+ E+ e. y
概率问题的最初定向研究，缘于游戏。时至今日，概率学的研究已经相当深入，许多问题已经得到正确的解，例如无规行走。无规行走是一个数学模型，其应用范围非常之广，酒鬼漫步失足悬崖是肯定的，不管你如何来描述它都是如此。现在来说赌徒破产问题，这实质也是无规行走的一个例子。假定我们中间有这么一员（当然是赌徒了）在线上或是线下菠菜，赢的概率是p，输的概率就是（1-p），每次的赌注为1元，初始本金是n元，胜了注码加1元，输了注码减1元。现在的问题是，赌徒输光所有本金的概率是多少？这个问题就是无规行走，跟前面我们说的酒鬼失足问题可以看作是同一个数学模型。本金n相当于酒鬼离悬崖的位置，本金越大，离悬崖越远。掉下悬崖的地方，即是赌徒本金清光的时刻。答案也已经有了，即当赌徒胜率p=1/2时，我们是必然会输光本金的！ / W0 n( G& q& u! I1 S! K' T/ o( m' p* I, i& ?) O
平注必输3 r5 d0 X# D( i
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我们所玩的游戏，即使是1/2机会类的游戏，如百家乐，龙虎，轮盘大小、单双等，实际上除去抽水之后，是会比1/2胜率输钱更多的。因此，我们得到结论：平注必输！我叫它为平注必输定理，可谓毫无争议！兄弟们，请注意，自本文出炉之日起，不要再为平注是否能战胜庄家这样的问题争论不休了，前面已经作了严谨的证明。 ; \: B2 q( o0 \4 j % p. J1 w! E. Q0 c7 w+ [ 酒鬼失足问题，我们还可以运用到胜率上来，即胜率必然回归！这无关我们前面是从什么位置开始的。比如，我们已经净胜了6手，那么，后面不管胜率如何走向，最终必然能再次回到净胜6手的位置上来！这个问题还可以这样来理解酒鬼失足问题，我们先作个小变换。如果前面说到的酒哥所在的地方根本没有悬崖呢？比如，在一望无际的沙漠，在一马平川的平原等，而且能走的路也能无限延展，没有尽头这样子的场景。现在的问题是，酒哥从家里出发（可能喝高了想出去吹吹风或者啥的），结果出门就作了个酒鬼漫步。计算下，此哥能最终不借助醒酒回家吗？回家的概率是多少？2 M1 m! i2 I3 a: w! ?! [4 l6 }
& {, H# h/ L) L3 z 你别说，还真有这么一个数学家闲的没事干研究了这个问题！这个论证过程也不复杂，我们直接引用结论就好了。结论大致是这样的，在一维空间，酒鬼虽然忽前忽后，但酒哥最终是一定能回家的，回家概率100%！但这个时间要足够长，喝得足够多，不要一会儿就醒了哈哈。。。。二维空间的情况也差不多，最终还是能回家的。所以，我们下回喝醉了千万不要怕回不了家，数学已经证明了，可以回家！！但是，后来的证明表明，如果在大于二维空间漫游，回家的概率就会大大降低！比如在三给空间里，如果人长了翅膀啥的，回家的概率就大概只有不足35%！, {' w: _% C0 X; U
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胜率回归 7 j' @5 w" |" Q; ~4 o * r3 k8 |" A p, ^ 酒鬼回家问题再次说明，胜率必然回归！游戏嘛，比如百家乐，非胜即负（不考虑和局，和局的胜率非1/2，不作考察），可以看作是一个筹码在一维空间上的一个无规行走，我说明白没？既然是无规行走，那就肯定不用证明了呀，最终的胜率必然是要回到起点的了。但这里说的回归，跟大数法则所描述的完全是两回事哦！我说的“胜率回归”，是一个即时时刻，是一个胜率归于50%的具体位置，一个点！而大数法则描述的是一个趋势！我好像又澄清了一个问题，那就是胜率回归是酒鬼回家问题，而非大数法则问题，虽然受大数法则影响。 2 g0 ` h, T5 @" C: I s. ^# t0 s. Z$ V' J
现在问题终于很清晰了，本金，相当于酒鬼失足问题中远离悬崖的距离，离悬崖越远，肯定掉下悬崖的过程越复杂了，也可以说越费时；但是不是费时，要看你每1步的大小而论，即使你离悬崖百步之遥，你以每次100步的幅度作无规行走，结果怎样？所以，注码大小，即是酒鬼作无规得走每步的距离！显然，在本金一定的情况下，注码越小（步幅越小），失足过程越复杂！再强调一遍，不要考虑胜率，也不要试图去改变胜率，因为那完全不可能。游戏的过程就是无规行走的过程，对于胜率而言。如果你想强迫自己中途“醒酒”而改变漫游状态，那还叫无规行走吗？事实上，反正我是做不到，所以我用随机投注法决定投注方向，没毛病吧？ 8 j9 O" i, m6 u1 U4 H! _ 9 [& \5 g: N. G: e8 p3 R 当然了，酒鬼不可能有翅膀，可是小鸟可以呀！那假如给小鸟喝点酒啥的，让它在三维空间作无规行走，如何？概率学上有这么一句话：喝醉的酒鬼总能找到回家的路，喝醉的小鸟则可能永远也回不了家！结论一下——我们玩百家乐，乃至任何游戏，其本质就是在拥有本金N的情况下，以注码M为单位，在胜率的一维空间，作无规行走！/ I3 k, \8 q7 b+ P4 V
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