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了解机率和或然率 " s' Q' W& E" I; O, e
概率,也就是机率,机率是属于数学中或然率的一部分。或然率可用於我们生活中的每个部分:
% [5 T; o' F& O* c5 M. b天气、科学、商业、保险、股票药学等。明天会下雨吗?男人平均能活多久?医生,我有多少机会?它合用范围很广,这个在数学中重要的一环,和DB及对DB的分析息息相关。
$ q U3 j+ Z1 u, z) D4 Y
" x( n2 V) P% B: V. a1 B5 D一堂速成的或然率课程
8 O8 G- p$ W# Y4 }/ I6 a9 q" b那么,什么是或然率?它是对机会规则的研究。大部分的人都很熟悉它的基本概念--或然率可以用来衡量一件事多常发生,或者更精确地说,可以期望它发生。虽然有些或然率专家们试著做统计,卻始终无法肯定;地球被小行星撞击的机率,或者一个小孩长大后成为百万富翁或奥运选手的机率。然而,其他的机率,包括DB中的机率,因为涉及的是我们知道全部结果的机制,因此可以准確地预测它的或然率。如果你丢一个普通的铜板,你掷岀正反两面的机率是一致的。丢铜板有两种结果,因此你丢岀正面的机率是1/2--每两次你有一次丢岀正面的机会。
& i2 y, P% U9 O7 w, i7 c所以,机率对一特定事件(我们称之为X)的发生来说也是一样的。它把X可能发生的数目,和所有可能发生的总数(我们称之为Y)相比。可以这样来表示机率--写成P(X) ,读成「X发生的机率」--可以比率或分数的方式表达之。
2 u! {$ z" l# Z' j' IP(X)=获得X结果的数目/所有可能的结果(或Y)
. w2 H# }4 t# _' L; ^所以,在一副标准的52张牌中,抽中一点的机率是:
# n& ]2 a0 C& I) }8 m& S$ [& CP(拿到一点的机率)= 一点的牌数/所有的牌数 5 J* u3 U$ m+ x$ C" \( m1 J9 N' @
= 4/52 : Y3 I* {' o: W$ N
=1/13
3 Y3 ~! @: H! I8 } [9 H& ~6 H0 v& b+ Z2 I! x; Y
* s! M* i$ x; N9 T' X
其他任何一种机率的表达方式
4 t( Q( k1 Z! r- F机率有许多表达方式。虽然它们所指的都是同一个东西,但是在不同的情形下,某一种形式可能会比其他的来得方便。我们就来看看在52张牌中拿到梅花的机率。
2 @: M: t0 T) c& DP(拿到一张梅花)=梅花的牌数/所有的牌数 . x9 Z% ~9 L& \- D
=13/52 1 Y2 e( f" ]! R7 D# h2 W+ i
=1/4 2 g7 P/ w' p9 R7 A
首先你要注意的是,13/52这个分数应该化简成1/4。一个简化过的、较为简单的形式通常看起来会比较顺眼,也比较有意义。如果你在书中看到一个机率,没办法一看就有感觉,那么很可能你必须先化简它。 7 z/ u1 p3 x+ Z
让我们来看看几种拿到梅花的机率的方式。我们可以用小数的方式,0.25来表示四次中有一次的机会,或是说有25%的机会拿到梅花。 : Y' {( f3 d! ?3 E8 D: R' Y* a
当人们说机率是50-50,他们指的就是两次中有一次的机会,也就是有50%的机会会出现这种情形,而有50%的机会不会出现。表示机率的时候,有时候我们用分数,有时候用小数,而有时候用百分比。 , l+ h+ g/ V0 W: ~" T8 b; E+ @
表达某一事件机率的不同方法 & S5 Q* K: ^6 B7 v( t/ j4 h. h
1)事件 抽到梅花
% O2 j( b3 ^: M \2 ~2 V2)敘述 梅花的牌数/总牌数
( m, a# P! g/ ~) X3)分数 13/52=1/4
5 R$ U" E1 h( x- z7 Q( U4)小数 0.25
& e ?+ C7 W2 A( I' m5)百分比 25%(小数X100)
5 r+ C1 J- b: a+ G6)发生率 四次中有一次
7 v7 C, F4 J3 h% t5 b! {7)比 3:1
/ P8 {2 M9 B- {6 M e- r6 {) o
v8 z( L+ o" y5 J基本机率法则 ! S/ k q) |' v
如果你能了解以下的规则,那么就不难理解大部分对DB的解释和分析。
- h' t, f& ~+ l1 L$ n(1)任一事件发生的机率必介於0和1之间
3 u: U1 w# s) I- i4 u3 o) @当机率为0时,表示该事件不可能发生;例如:用一个正常的六面骰子掷出7点的机率,这是绝对不可能发生的。 6 D; d4 m" p0 b [9 i" c
当机率为1时,该事件百分之百会发生;例如,用一个正常的骰子,掷出1到6点的机率即为1(当然扣除骰子边沿著地的机会)。
" p; O- Q( d( }2 N: V机率永远不会有负数--0(表示该事件不可能发生),小於0的数字不具任何意义。
3 x+ d' L- q$ W6 l5 f(2)一件事会发生和不会发生的机率总和为1
' S2 }8 P2 @1 S1 \' @6 R为什么呢?因为所有结果加起来的机率一定是1(100%)--不管是不是你要的结果,一定有事会发生。
# Z& {3 @( }% ?例如:用骰子掷出2的机率为1/6,加上掷出不是2的机率为5/6--总和即为1(1/6+5/6=1)。这看起来很理所当然,但是当我们间接推算机率的时候,这可是相当好用的方法。举例说,你想要知道在一副正常的52张牌中,抽中梅花的机率是多少。但是你並不了解整副牌的组成元素。你只知道抽中非梅花的牌的机是3/4。其实知道这样就够了。
* d) f; x# E- G% U9 b9 `: \& w% m2 jP(抽中梅花的机率)=1-P(抽中非梅花的机率)
0 U* I6 y) p8 M0 F7 O =1-3/4
q: ~9 D, s& f! \2 ^( L =1/4
0 B/ M* u$ K& ^$ \/ |
2 c: [. c- |& v3 k(3)连续事件发生的机率等於各独立事件机率的积
- G: Z; k+ {* T3 K: E+ z是的,这听起来很复杂,但是你或许已经很熟悉这个规则的运用方式了。这么说吧!假设你想要计算连续丢出两个1点的机率好了,丢一次骰子获得1点的机率是1/6(共有六种可能的结果,只有一种是你想要的),而掷出两次1点的机率为:1/6X1/6=1/36。每次掷骰子都是「独立事件」(两者互相无关),而发生这种「连续事件」(丢出两次1点)的机率即为二独立事件(1/6)的积(即相乘的结果)。因此,这连续事件並不一定是要同一颗骰子丢两次才行,如果同时丢两颗骰子,也可以构成连续事件--因为两事件各自独立。
! [' I2 q& f: G0 j8 k$ U& J) r再举另一个例子:你同时丢一颗骰子跟铜板。那么,你丢出铜板正面且骰子为1点的机率为何?此为二独立事件,该事件的机率即为两独立事件的积。丢出铜板的机率是1/2,而丢出骰子1点的机率是1/6。因此发生此事的机率为1/2X1/6=1/12。 3 H5 F( i4 G! v" [" J9 x
8 H' G. B$ U. I6 {8 I0 W(4)两非独立事件发生的机率亦为两者的积,然而,当事件发生时,后发生的事件会受到先发生事件的影响。
9 Z: [+ X. @+ t这又是个令人困惑的说明,但是如果举个例来说就很清楚。例如:你想算在一副牌牌中,连续抽中三张梅花的机率。它的机率为13/52(52张牌中有13张梅花)X12/51(一张梅花--一张牌已被抽走了)X11/50(两张梅花--两张牌已经被抽走了)=0.0013或是1.3%。如果你在每次抽完又把牌再放回去,那就变成独立事件,抽到三张梅花的机率13/52X13/52X13/52=0.16或1.6%。
% O! O: b0 Z1 o& p& Q, \- W6 m0 k7 H/ E6 c$ Q% V( X
经典的机率实例 " s4 M/ ]9 T2 `' @0 {4 V0 N
即然我们已经了解机率的基本概念(不是吗?)我们就来看一个经典的机率实例,让它告诉我们现代机率理论是从何起源的。
( a+ u+ T+ Q; U& K Z# a X6 |在十七世纪,一位名为薛瓦里耶。德美尔(Chevalier de Mere)的法国贵族,他是一个用骰子来赚钱的骗子,他跟对方下同等金额的注,赌说掷4次骰子,至少有一次会出现6点。他的理由如下: # R* j% m$ e' e% W! v+ K7 ?4 N# m
P(6)=1/6
9 P, q- `2 f" {1 }4 J" LP(6)=掷4次的机率=4X1/6=2/3 ( K6 m |5 N, M- ^
他的这种赌法赢了不少钱。虽说他的推理是错的--我们等一下很快就会看到--但是他还是佔有优势。(你已经知道他为什么错了吗?)
" r9 S$ q/ e) w" t) H当玩这种游戏的受骗者变少后,薛瓦里耶开始改玩另一种赌注。他也是用同等赌金,打赌在掷两颗骰子24次时,至少会出现一次两个6点。他的推理如下:
9 a9 K" w8 J* S4 {0 E. n: j! aP(6,6)=1/36
- h0 c+ D% b! EP(6,掷24次中出现6的机率)=24x1/36=2/3 0 j: q! F; e. A# J
但令他惊讶的是,他开始输钱了。所以他就问他的朋友--数学天才巴斯卡,为什么会发生之种事?巴斯卡觉得相当有意思,就问另一位数学天才德佛美。他们的想法一致,因次就創造出现代机率理论。(而我们竟要感谢一位骗子的老祖宗!)让我们来看看他们研究薛瓦里耶的问题的结果。 . [; D& {) Q/ K
在第一个例子中,我们知道 在任一个骰子中,掷出6点的机率是1/6。但是,解决这个问题的真正方法,是要算没有丢出6点的机率是多少?很自然地,它就是5/6。所以,如果薛瓦里耶想知道真正的结果,他得知道 掷4次骰子时,没丢出6的机率。每次掷都是独立事件,请用上次提到计算独立事件机率公式,我们就会得到以下的结果: 6 ~5 x+ ]* ^. V
P(4次中没有掷出6点)=5/6x5/6x5/6x5/6=0.482
0 N1 Y3 M, M3 S3 n' h这表示有48.2%的机率不会丢出6点,因此薛瓦里耶算错了那个赌注。现在要算至少丢出一个6点的机率就很容易了。记得,有些结果一定会发生,那就是为什么我们用1减掉0.482。 ' Q$ D7 b# U8 ?* V7 j2 h
P(掷4次骰子出现一次6点)=1-P(掷4次没出现6点的机率)
3 \1 `, l; T. n! _) D =1-0.482
9 f! {* D2 K# s3 x =0.518 3 L: z( a3 s" ^$ x4 L4 W6 Q$ T
所以,薛瓦里耶有51.8%的机率赢他的同等金额赌注,这就是为什么他能赚钱的原因,虽然机率不是他想的2/3。用倒回去的方式解决这个问题,虽然似乎和直觉相反,但实际上是比较容易算的。 " D( \9 G8 O" @) \" r; f* u
薛瓦里耶最初的理由也是站不住脚的,如果我们再往下看一个步骤,用他错误的方法:如果掷6次骰子,掷骰子的人必定会丢出一次6点。很显然这是错的,也让我们知道为什么要算没发生该事件的机率是合理的。
4 R9 [- s Z( X5 g. q' C e* f 现在让我们看看薛瓦里耶输的那个游戏:他想知道 在掷出24次骰子中,同时出现两个6点的机率为什么不是24/36。同样的,算出不出现的机率也是比较容易的:
1 }+ D& z2 D4 R2 H4 q( j. ~ P(掷出24次骰子没掷出12点的机率)=(35/36)^24 1 N2 M5 U- g2 I6 Z. m* t
=0.509 7 Y) \8 X" v, R# K9 U7 M
因此: 5 q6 z* _& D! S+ L4 ?- `
P(掷出24次出现一次12)=1-P(掷24次骰子没掷出12点的机率)
) E0 d, g: @ [& H& D% l =1-0.509
: R4 j* S: j5 j =0.491 ; i# k1 Y7 ]! x0 M! ^
' ?5 x6 L1 b" v" F
啊哈!薛瓦里耶在第二种游戏中的机率只有0.491,也就是只有49.1%得胜,那就是为什么他会在这个相同赌注的游戏里输的原因,老千反被老千误,但是他真的很幸运,因为有当时最历害的几位数学家帮他解围。
; i' b/ {2 c8 T9 m
' \. V8 ^5 T+ q( _一旦我们了解到一件事发生的机率,下一步就是想到该事件发生的「比」。如果说机率所描述的是一椿希望发生的事件与所有事件间的关系,则比所描述的则是希望发生的事件与不希望发生的事件间的关系。 " g% s& t& ^" ^( y3 ?, d
就传统而言,比通常被认为是「不发生」该事件的比。这或许是你在进DC玩任何游戏时,最先想知道的吧! $ j" ^8 Q2 l# H. @' u
让我们再拿梅花的例子来说,我们知道它的机率是1/4;四次当中有一次成功的机会,有三次失败的机会,因此,该事件(抽到梅花)真正的比是3(失败的机率)比1(成功的机率)。或许这时候你会皱眉头想一下,「但是一副牌不是有52张吗?3比1的真正意思是什么?」好的,说3比1等於是说39(非梅花的张数)比13(梅花的张数),分数巳被化简过了。 $ d6 ^3 F( B6 N) s8 Y, ]6 P8 t
当你丢一颗骰子,希望丢出2。丢出2的机率是1/6。比率是5比1;这也可以写成5-1。要了解「A-B」等於是说「A比B」。 8 B1 `; J8 L% J8 n, [5 Q2 q8 a
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比不一定永远是「多少比1」,但是所有的机率都可以写成比。遵守一个原则:把机率写成分数,假设是X/Y。记得,Y是所有可能发生的机率。而X是成功的或是希望发生的机率。所以用Y减掉X,你就可以算出所有你不希望发生事件的数目,然后就可以算出比。发生X事件的比为「Y-X比X」。假设某事件发生的机率为9/35。这不是个漂亮的数字,但我们还是算得出来。该事件发生的比是26比9。习惯上,我们会把它化简成一个较容易了解的形式,即使它不是整数。例如26比9可以化简为2.89比1。
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很好的一个课题,Dubo就是需要学习各方面的知识,打下稳固的理论基础,不想盲赌就要努力学习。 |
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