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1#
引言
8 E' o% C1 ?; K3 T/ c8 l" f! Z! r4 b3 a
在日常生活中的许多场合,像生意的投资、决策的推行等,我们往往无法事先确知其结果,但对其成败的机会,则往往可事先估计出。这种成败的机会,也即是我们通常所说的事情成败的机率,然而使事情成功的方法不一,所以如何选用一个方法,使其成功的机率最大,是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便,作者特考虑下面的数学模型,实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的,不单是提出一个结果供读者参考,而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法,让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
# ?7 O! r. W; E+ {9 n" Z. C- z, t+ m; ]0 i" f8 L
问题 4 u$ d2 U' I9 _
  A& ?# z4 \' M4 |

+ S! [# n2 z3 x( B( S有某甲持 c 元,拟与持 m 元的庄家赛局,并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中,某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽,整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注,才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢?
0 H6 W, V1 \! Q2 P2 f7 }$ z4 U
/ ^4 f5 f6 B8 P9 G6 i" i' ^$ R# d当然,我们假设下注的金额是合理的,比如说若某甲现已有 8 元,而庄家只有 2 元时,那么某甲最多只能下注2元。
2 j4 M: h" o0 i9 H8 L* @; f( ~+ C9 H. w: z
本文
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  {8 _1 b# z7 @% ^1 |: |- i$ m- l, {) R! o# T1 y/ i" V
问题的叙述虽很简单,但细思之下,却发现其并不很简单。这道理不难明白,因为可下注的方法实在太多了,要一一比较是不可能的。
9 A/ e9 S# L, y& ?: v: ?, O: G0 o, j, x1 R# B# |
为了要克服上面所说的困难,数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法,这些方法所以较常採用,泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然,直觉的认定往往是不可靠的,所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法,并比较其优劣。 ; T) {$ F# h  ~

) A: h. k/ v1 O& ^- M8 |: ]: `+ p
" q7 U9 K8 J! V& V& n) D方法一、每次甲均下赌注 1 元。(显然,这样的下注法最保守,我们称之为保守型下注法。) 6 }; B% g5 @8 K+ u7 _- H5 `# L% S. O
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了,则下次仍下 1 元;若输了,则将赌注加倍,依此类推。换言之,往后只要一赢,他就下 1 元,否则就把下注金额加倍。当然,我们假设所下金额是合理的。(显然持这种下法的理由是因为只要一赢,那么非但所有输的金额即全捞回来,并且反多赢 1 元,我们姑且称之为输不起型下注法。)
. _! V% ]. I: p. N) w方法三、只要许可,甲就将所有赌本下注,因此只要一轮,某甲就血本无归。(显然这种方法是最大胆的,我们就称之为极端型下注法。) 4 D) O! i3 E- l0 U& Y4 b  t+ {
你会採用哪种方法呢?能说个道理出来吗?事实上,答案并不简单,它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关,也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计,我们以「+」表甲赢,以「-」表甲输,并以+、-所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
% l. [* S7 n* }" \) z
3 z3 B3 _9 H1 r8 }8 x5 p首先我们考虑保守型下注法,此时只有在下列诸场合,甲才会赢(即庄家赌本输光)。
; S9 f5 C/ ]6 X0 W& t( I! o6 P0 `1 S% X  z, V
++,
( `: W, m: `6 K+-++,-+++,
1 P( I& G; R+ z* L2 @+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++, + a' T; T- v/ ~6 m
                                                                                                。 - F; G  I: G* y* K+ z# V5 w. Q
在第一列 ++ 中,甲连赢两次,此次机率为 。在第二列中,甲赢了三次,输了一次,并且有两种可能性,所以其机率为 (q 为输的机率,故 p+q=1)。依此推导可得在第 n 列中,甲赢了 n+1 次,而输了 n-1 次,并且有 2n-1 种可能性,所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中,甲赢的机率为
/ Z# ?3 {6 T  J' c$ ^8 |
( ]" Y5 u* ^" T# C! o! ~+ K8 z
: [3 W$ {7 I7 \7 m) D5 [, j7 k4 z# |+ O

2 Q! D: a6 t" e4 f# Y. A
9 t- H% |! |  K: J+ Z9 \; L( M* }5 e! g% d
; Z" R- r$ D& d
1 o# X2 l" a7 l4 ~! ~% q( g

) |9 Q. V7 _* r9 V# v# Y
5 N, T7 i" @. Y  }9 g3 i+ ]  ]2 T9 N现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合,甲才会赢。
& ?6 ?8 o- q4 c3 S7 b1 C' F) ]' ~' g
5 O) X! ^" U& t5 D+ e& [3 f++,+-+, ( ]9 F9 X5 {, G& A& y; Y
-+++,-++-+,(注意:甲第二次仅能下注 1 元)
% k5 T8 r9 x  k: T: s+ P. n-+-+++,-+-++-+,
8 Z. A) K/ P! R0 T& G& e                                 
; P  P  U; y) y2 P% X: Z, y! p, ,
% I& d3 {8 `- {+ e                                                                                。
$ U: A1 M8 Z4 G( y3 e* b) O3 ~6 l* {4 {' }
仿上之计算,可得此时甲赢的机率为 : S* [: g, R3 C7 `+ P2 m6 e
+ n7 U8 Y) f8 k3 j  U7 o6 E! c- ]

  ]' V' w' \% r9 s8 P4 [) n3 {
3 u- j/ f8 h3 ]5 [3 Z: u
  p) I0 `, a' d4 I  k4 A" l+ B6 Y6 X& Y. ~; b) {

. ]9 N' K/ q0 E/ W, A6 q' d+ {& T) I% R) e( X# V% l( q. k
# z+ }  q: p) @3 W1 B
最后设某甲採极端法,则甲第一次即下注2元,因此一次就决定了输赢,所以甲赢的机率为 p 。
2 R1 ^) _3 ?% T; m& Z: {
+ I. H% I6 F- E& v# M现在我们再回到原问题:究竟在这三种方法中,以那种方法最好?由于相对应赢的机率公式已求得,所以我们只需将 p 值代入,进而比较其大小即可,举例来说,当  时,三者之值皆为 ;而当  时,三者之值依序为 、、;至于当  时,则其值依序为 、、。这些数值告诉我们,当  时,三种下注法没影响甲赢的机会;当  时,则以保守法较好;当  时,却以极端法最佳,保守法最差。
( C6 B/ `- m) G1 N' r$ D
$ ~5 N4 d" p$ L7 n$ I* x0 E这些结论,是不是有些出你意料呢?其实问题还没全部解决,迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好?还有,我们仅就特例来考虑,在一般的情形下,答案又是怎样呢? ' H! a2 M3 Y' R# P0 k

/ z$ y$ p) V5 I7 Z# m, W现在,先把最一般性的结果写在下面,其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。 6 E' }$ V" F+ [) _; J- u
+ N4 D0 I7 U2 m) x+ y! C

: F! d+ ~* i# C) o3 \0 q0 H8 n情况一:  
! H% U5 `" V" i' U5 t3 G. Q此时不论甲如何下注, 恒等于 c/(m+c)。
; r% M$ T1 V3 \; l0 D5 {
3 i1 d* F! X5 ~, b4 G3 r情况二:  ) X) g. P( @7 u: x7 U3 o
此时不论甲如何下注, ,而右端为保守型下注法赢的机率。因此,在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面,极端下注法的赢面最低。
' }  W9 Y+ X$ [% f$ E; I+ y3 p
; U. {1 w* g" e/ n3 k% E! {& }情况三: # k. t1 O- @- m; c4 Z
此时以极端法最佳,保守法最差。同样地,保守型下注法赢的机率为 。 2 K% `' B2 `  u

/ z  q' X6 H9 J# R现在我们就来研究,为什么会有这个结论!这用到了一些数学工具,不过对其中较复杂的部分,因顾及本文的可读性,笔者只很扼要的叙述一下。
+ i  V4 o4 X/ `6 J/ n9 u+ L! B1 i3 Z, E+ q' _! @
由于在上面的结论里,保守法处于一个居中的地位,所以我们先就此法进行讨论,然后再进一步研究整个问题。 7 r$ O( s( f! }2 Q! }/ Q) U

! A7 c7 t( o* v5 N5 u; t: K0 m如同以前, 代表当甲所拥有的资本达 i 元时,他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元,所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地,,,而  为我们最早所想求得之机率。
3 E- l4 M% e0 `8 t8 |0 u) q; x9 r( b
+ y6 B: t, f1 ?: M/ @
情况一:  
; T: v) ^/ q( l/ F& t假定某甲现有 i 元,那么有  的机会,他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此 8 _5 ?: D$ v9 `1 P

& Z4 @7 x- Y+ P: C( k
1 ~7 N1 V& N0 S1 P4 k0 q
0 f6 w/ ^2 o# m, Q, a2 t6 a
5 @9 `( d$ G+ J: F, T0 {5 k9 V/ y4 i

+ r# ?( a1 h0 m! |3 C这样的函数 ν,在数学上是一个线性函数,因此解的通式为 。由于,、,得 a=0、 。因此 ,亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
, m6 P; w0 i. c3 C. y
# e! \# k+ L# @) P) @  b情况二:  
/ K: Z7 A# ~9 T# {3 f令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式 # W* W+ A- w' a% J6 i
( B4 }  w) }( I0 Y) I/ Y
: ^- ~  U- i4 X& u7 D# V
, r! o* d5 ]; N6 t' a# b6 S8 E
# @8 y, [. s( I  [: e
: f7 [% h( \) \+ Q& C1 W+ x$ O/ t

/ t. T8 e2 Z! @) y这样的一组方程式,在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法,但其道理较深。为此之故,我们特採用下面的方法。   c, n- c7 ?5 q1 ~9 g
利用p+q=1,上组方程式可改写为
1 j3 h- U* w! v6 O9 v) C* \: h$ \, v- j) e. A- x

) D0 f. L0 w  z1 e! C2 M% Z* J) i" q  R% e1 O. o
/ R' w! `" g/ b6 R+ S
  k, H$ j( _( g7 K$ Q

2 P6 O* Z( l3 ^两边相加,并利用 、,得 ' ~3 z8 N# e* Z2 p+ Y2 q

$ r" R; h" q! b
1 Z2 Q% N$ _+ O* }; u" ^
% v4 \- A  i1 _# e' h, S5 l2 z9 x( _5 ~/ p8 \- X% s
! B4 i4 u, m& v  j* S# V

$ x  J5 c  U. d/ N# J# y' S若取前 c 项相加,则得
( }6 ^3 H; `! }/ e) c
* [- p: _2 P  W8 M% s: K* \0 z) L3 V' e  b
  `0 N2 o4 k4 n! `: h! [
- M3 V3 f7 p- E9 A+ d  b; F

' D" z% w! ^7 t6 a9 b
4 L: U, W( {: @; w0 @1 N情况三:  
6 f+ C# Z+ U4 U* O6 _仿二之解法,可求得
* x+ {3 a' Y3 B' p* G8 Z
. A5 \6 M, G. O5 c. W
. c0 Y8 A4 q& g' ~- Y& A  Z8 h  p8 L+ X1 N4 w9 Y: U- i1 {
2 `' B6 S0 N8 b, H8 M1 m) t

6 R  X. z1 j, ~7 w3 E; C" I8 Q& A8 {+ Q
4 ^/ Q4 F) t. }( m- b3 n+ j6 I2 y) n# K
保守法的  已求得,现在我们来研究为什么在情况二时,以保守下注法的  为最大;而在情况三时,反以保守下注法的  为最小;同时另一方面,在情况二时,则无论何种下注法, 皆一样。
0 d; U5 G7 J, K+ j7 B4 j+ p; C
% i  {$ s3 o- @( d首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时,甲所拥有之资本额,因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c,即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间,因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。 5 L0 h; j8 @! b$ s

, X8 W/ u% ?9 W' B8 k5 w
! p- Y1 c" H% |& i6 _定理:
3 d8 O; ?0 ^) h" N+ N" f设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下,f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn),则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」,则结论亦真。
4 e+ G" O/ Y4 E1 I此定理在机率学上,即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem),它的证明已超过本刊程度,所以略去不证,但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说,其实是说若你的第 n+1 次赛局,平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值,则当整个赛局结束时,f 的平均值也与原先值一样。另一方面,若在「」的情况,亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值,则当赛局结束时,f 的平均值也曾比原先值为佳。
$ s5 b. |9 @& d8 B- q7 ^
: B) N; @/ R. W! U现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。 9 ^0 U2 K# S* w" L' W* s

, _) v5 \: Q7 K! _/ _# \; {0 g% D首先,我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn,则不论对何种下注法,因胜负机会均等, ,所以若给定 Sn,则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ,所以知不论以何种方法, 。 . c3 [7 X/ b# T; M$ m' t

: L0 ?/ N9 ?9 _$ x- J至于在情况二或三时,我们取 。此时若给定 Sn,则
( Y9 N' @1 d: T# n) Q
" J; Z8 C* s0 ~& Q4 [2 l, u8 G( U+ s4 M% o, q5 m/ ]& x! M+ R

% E/ k3 v$ j0 m8 l) @. j) z4 F7 Q2 q3 R3 A; p6 V
2 z! X- s7 L; c
& u) [, i( m, g1 @) Y! _( u5 l, i
( ]- F, f- l  {) ]0 @, c! F

1 n' Z# L" @% }% ^5 e) Z其中  为所下注之金额。利用
; Q3 q3 E: S) T3 H8 p% C) Q4 K9 Z3 c4 r1 y1 F
. v1 `9 l; ~9 W4 m4 m
  b% Q5 T6 @8 Y* _
4 J$ X- t6 q1 I
- _$ I& j3 O, s! h
& M0 G" H/ x8 f( g
9 q& o) E* F9 ~+ p
) D, k& a6 Q0 ^6 z
可得不论以何种下注法下注,若给定 Sn,则 。所以由定理知 。但 " k0 v# L% O  E! ?

) f2 N! i5 j0 _3 ?0 @' E' W# T4 f  z  j& M$ h

) F5 @3 \7 N- i/ q2 ~+ M+ R. N+ ?% z7 O9 b4 T% M# _2 L0 G8 f

4 y# |& R( X" _5 l$ O0 G. `: [' C
, u- D$ S& H; n3 ]! z

  w5 U  b% N: u因此可得在情况二, 时,
1 `. ~9 S" @2 v, N
6 |  A5 i  ^) l( n/ v7 _& R- V" Z
. [, A, `% i* o3 t. L1 y6 u% I0 J8 o1 v1 j( h( [9 s0 l, _. ]

6 U' D. |" H% t" ~( P# B, q
6 ~& R$ ~3 ?2 z8 Y- K, O) l; ?; o

3 Z" K0 d# Q& h- y0 u2 X0 r/ j4 m# c. `# N/ v, Z1 `! H. L; ^
而在情况三, 时,
: H. `0 S& V' _/ r" f
  i4 v/ V: k& T) g
' j+ a1 }% X3 R. ]4 O- L) U3 f# K7 T' ~8 X3 U& L; [( ]
& l, j* x1 s+ \8 d

8 S  |' |/ y% x( g% T( U$ r5 i& r% Z. j  K, Q3 p
* D0 x6 O  ?1 l2 t
- n, [8 z: M5 r! z. X
但  为採用保守下注法时赢的机率,所以知在情况二时,以保守法的  为最大;但在情况三时,却以保守法的  为最小。
' a# S- D+ ~- B& y) L$ X, r2 X4 d8 m; D# {4 Q
至于为什么在情况二时,以极端法的赢面为最低;但在情况三时,却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论,只好从略了。 1 {6 @6 P# O: w8 y

, c7 d& U. q6 T5 T8 _附录
$ A; L; i. g0 N3 Z. f; i  w# U; M  \: V) x
6 L+ _3 e# j7 }; v3 W3 E2 J
在本文中,我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题,比如说,我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T(亦即期望值)。关于这个问题,我们有如下的答案:保守下注法的 T 为最大,其值当  时为 T=cm,当  时为
* l! Z( {' x# Q7 v. b5 e& ]9 \" A  @" t( x* Y, M
  |" Z; H- z4 V

" }6 z) `3 r" s  S  x. k2 T/ v; Z5 o+ b! ]( ~8 _

8 g- h/ f3 [& k* B+ Y4 q7 s# q6 }2 z6 [* u/ S% c: b# T0 D

! T+ l0 d* {' C
1 D, r7 F, q8 n5 f0 G" a" x9 g+ D9 c另一方面,极端下注法的 T 为最小(但无统一公式)。至于其推导过程,与正文中所用的方法类似,只是演算步骤复杂多了,所以从略。
avatar
太长篇了,而且非常的深奥,希望有玩家能看的明白。
avatar
3#
好文章,学习了.
avatar
4#
又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.
avatar
5#
主题回复处广告图案-天策传媒
我也来学习下
avatar
6#
太深奥了!!!!!!!!!!
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