随机赛程的最佳策略

引言
- ]6 b; c* v& B0 }1 |7 O
5 ?- u" W5 Q/ T) d2 K在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。

问题

& t- B) a+ x: q+ X  t
有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？

/ ]5 o3 U& j" y! M# x! ]' i7 N当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。
3 o" [3 T, N- B2 A3 C6 S' W* K
本文
; C- V5 M/ u! C) j" p' V9 R$ O
  m- m% F; D7 {: o  \' r, {
# ~4 u+ E4 k* D2 B4 y& @% k问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。

为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。


5 K8 S3 ?* v: v0 \方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
' y' B  ]6 j! G% A方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。

* l1 N" A, D+ T/ p2 a3 A" [# y首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。

++,
+-++,-+++,
9 g' k, s. I7 c+ b  w8 C: P, e+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
                                                                                                。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为
( g# d. F1 A/ e3 j7 |: Q+ x




6 {0 R, K0 w3 y+ ?, K


/ r% D. Z5 R0 p0 g6 Z) \
+ z/ I. [8 m3 f/ ~0 O6 |; ^5 N
& ]3 G7 f: X, E1 Y  c4 m9 I5 h现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

++,+-+,
% p  ?) i+ d$ S# s9 ?7 n, _-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
1 p2 w# K: L$ l- `4 C-+-+++,-+-++-+,
# F: v2 P: v4 U) S/ @  q- v                                 
  @) S3 e$ j2 v9 S0 t  R, ,
/ y" J2 \  g2 H2 K& ^" I$ h                                                                                。
8 h& M1 I" s0 {
仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
0 O: ?, e4 |0 G# m2 D& Q* j
- C& q! t5 l/ l  `
) ^* R9 @" c3 ~





最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。
  A/ j2 N3 U) U* C* X1 S. ?7 P
现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。

这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？

现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。


: i4 `7 a/ t  P2 V6 q6 _' N8 a情况一：  
* @  V- m) L$ D) L此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

情况二：  
此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
8 v% x# y; f4 d3 P
0 d# D; K' v  F2 G+ B情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。
, q! r) l8 ^) m/ g" O$ u! M* q
现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。

由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。

如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。
% g1 K$ ?0 }+ Z! G* }& R% B

3 y1 W' {$ V) R+ X5 \情况一：  
* }" Q, T/ N& N  w假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此


: [! |* G$ l% L1 S3 I

) S3 |- e8 i+ z0 Z+ y
0 z2 _6 q' j: c) i$ J' C6 r- e
这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
7 `' i6 U, i) [6 x% B% o
4 v& _; O4 i- z- F( n情况二：  
! {- C% F" R+ e2 T" E令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
+ D+ B  r+ K' [

( G' D! \9 i& L) L8 b


5 F  V; }$ t0 o+ \" z
$ ~$ F& \% f$ d8 w" E0 X这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
% L  L; o3 T  g; o! K利用p+q=1，上组方程式可改写为
( D# M, w3 g- ]3 b
* m- C- v% d3 W5 y8 G


( M& |" R+ P+ \- I

两边相加，并利用 、，得



% J) K! v% d- d$ y* d
% ?) v" Z: i: y2 F9 G  ]; i- m
% e; T1 J4 I6 t
若取前 c 项相加，则得
( c& Z; ?" F; i. p

' s  M# H! `; x: r1 X  t
" |9 m: d" V5 T/ L


情况三：  
, U) J4 c1 ?- ]! q) y: S# A仿二之解法，可求得



% w& N# y( ?4 |" a


, u) b8 _* ~" O/ D/ Y" N# A" `8 X
( E+ Y# L/ M: j1 y6 V. U5 Z+ y保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。

首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
. G' K. {+ \, V; K! [

3 A% K# o6 c' {! s定理：
9 Z& Z# d/ b. W+ f) R! W设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。

现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。

  c! j3 _; E, [# X7 `% p首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。
) P/ \* U" N' r
至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则
$ _( e; }* P9 N3 y9 r; a





, G7 i/ G; b% N

其中  为所下注之金额。利用
- }3 m2 j# N* X! E




  ?( b; z7 R0 F3 v3 Q

; r5 w4 C9 M, o& C: A, W: j
可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但

  F+ X1 w( w! {& `$ t' n


, z, @( f) T& |, G- [$ q" @
3 h% X1 M. i# s7 ~$ u

0 Y/ U. F/ b( L+ [) v
$ ~0 l" O) Y7 G: p3 ?因此可得在情况二， 时，

5 P+ x0 v6 y& t6 Q& x


( M. R5 Z+ i4 w2 M
" J4 V+ Q3 a+ c  f  j
5 s9 E' F5 x' Q" N' f

: I( ^- a: k. J9 e而在情况三， 时，

: r; T9 }, y" u0 i7 s+ e) |
4 |0 J" t2 c  }1 ]

1 I- f" i" m4 z, J! V' V



" @; z* e# l) N- ]* r但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。

至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
8 F* q/ M! T" v% m$ k
6 V' Y% n+ X3 B. o4 x# n. j4 Z附录
' r! ^$ c) |; n+ _

在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为







" D! a4 Q' Q- }% p
  K( |9 b5 G3 ~5 E. i另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！