随机赛程的最佳策略

引言

在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。

问题

4 p1 `5 R$ L5 C  D2 ?$ B
. j& N2 N9 E. h8 \- S, s& m有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？

当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。

本文
* ~8 J' _+ h# \7 R8 R: T

问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。

为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。

1 k& \* ~( {! \$ U2 \
方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
) b% e' b5 |* m" `) f方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。

% _  ~9 ?/ O- l: x) i首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。

7 n7 ?( ^+ E8 O6 F+ G++,
8 V4 Q8 i7 ?5 K" G6 O& X1 l+-++,-+++,
. a+ P* g* |' A4 w: k9 G* G) U+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
8 ^! N. l( @3 r5 S% r; i* W                                                                                                。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为
3 R  P& g0 o0 a8 y9 K5 f2 i2 I
4 _% h+ D8 n! o% r8 d9 ?) g


/ d" B% z3 D5 K. n, ^' _& D


" y/ D2 `* y) l0 W' F! Z0 ]' u

; i! M; k' [( D: g! V
现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

9 J% C1 s6 N+ ]2 V7 r++,+-+,
-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
0 d) E4 U' ]0 o% f7 `) P-+-+++,-+-++-+,
. V* R" Z9 P# [0 a4 c+ }* `( E; {- r                                 
9 \1 d9 m! _1 B* _$ x8 G, ,
                                                                                。

7 S5 ^: b. X. R; H2 V5 Z3 e- h仿上之计算，可得此时甲赢的机率为


4 [) t. m; n1 g. E# n; Q$ P

: L3 {) W& e5 J7 k* [% t0 Z% _
# U4 V8 Q. S1 c& ]$ q

6 j5 i' n2 }& ~7 s$ o1 b
最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。

现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。

# t5 W/ A( ^/ w这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？

现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
6 g* P0 ]9 Z; Z0 C& D3 v

9 r( T3 p9 Q- i9 [情况一：  
此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

1 T) B8 Q$ \  Z+ q: J/ X6 [情况二：  
此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。

3 |' T/ F# E; k' N0 g8 J情况三：
: J; }! D* v- j- `4 m/ y此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。
7 t) z) W8 [. |  y9 O, F1 ~
现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。

由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。

如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。

5 {$ V  Y& |* l& V
8 S+ R  `1 y. l% G! ]情况一：  
假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此


8 i. c& q7 p3 A( o6 C

5 n# m6 \0 j4 @& Z" E  i$ N

# M8 e4 H8 O1 P' j$ R这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
0 C: I! l/ `3 [, T* C: G+ E
; [# S5 @  M. g% D  u: P情况二：  
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
4 P& t1 `  d! D1 R9 ?  j9 d- l


- X. \+ H( g' C" F+ z& U) ~# T1 M

& a& a' |2 v8 {7 S5 q) {8 m0 a
5 g5 \: Q" X. g% i' M9 J4 d这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
利用p+q=1，上组方程式可改写为
1 @5 r  }+ H# s( X

8 n/ q$ H4 c+ ^. S- S% K

' ^0 F3 [; @' V, E. G4 T

8 E5 h* S' R$ x  t2 _两边相加，并利用 、，得


% [4 v/ a8 K' w1 t" e
/ i! s' L& p! U3 N/ ]
7 b; n# ^" h) g

若取前 c 项相加，则得

( s; L. I- h- q
9 P; [; w$ g& T3 s% e

$ S' K/ N: {4 g1 e0 A- A$ H

; z4 v/ L' ~0 ]6 Z0 H5 q情况三：  
仿二之解法，可求得
! S4 L, f1 g7 U

  Z& y9 a" f& o" R5 b

6 q: J" S; C( M" F7 R+ n4 u


' X! }5 {: P( p# D! V' e+ I; P% p保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。

/ C3 K& S5 b9 o首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
# N6 |1 T: q' @5 l) n6 X! R

定理：
3 k, t) v: K; g7 u) F6 e设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
, f" p9 w, V2 q1 `  x# F此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。

# W" L. W3 y" ^9 |现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。

首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。

至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则
; F. f; }- O8 D5 t+ B& M& E/ ~, z

  \, f" [" ?+ ]$ r

$ G; R: \. M0 @; ~

" |/ }. T/ R9 d6 c9 c2 W* B1 e% L

其中  为所下注之金额。利用
6 X1 L6 ?6 y! q







* o' F" i9 f8 ]8 F* V2 Z& K可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但


% w# |( z$ j% x  g0 v' Q


* J1 b7 o$ X" F; y
0 S) }* `7 \9 v0 B, E  c
3 b: _, F: J/ N0 n) D/ u
- [6 b5 z5 ?/ O) _因此可得在情况二， 时，
" c0 S3 e8 D! D: i" S: x# T


& Z  U. y( a6 [$ |  Q$ z* {, S+ l
5 K) [6 w7 o9 N) ^

' ]' y( V7 K' O. O
/ Y+ I. T# f4 l# F
而在情况三， 时，

7 X- F9 w+ N, a1 l5 [7 Q
, p2 Q% r2 I9 b
: B' c- ^- q! v. o5 D2 H




但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。

9 l; ~2 i- i4 z. o至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。

附录


在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为




/ t; {: K) u+ Q" {4 |& i, p- M

, \$ L0 L$ {# Z4 u) v2 Z

6 U  K4 B2 W. X& |另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！