随机赛程的最佳策略

引言

6 v) a/ i/ J9 T* ?6 a9 X+ W! M3 s在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
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% S! v# U. ?6 f( @! r4 h2 p问题
' R/ c0 T3 g. ]
2 u; G3 f9 o% P$ K2 J/ \, ]9 v
有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？
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& \# @& l/ z+ E% a5 u0 n当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。

本文

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3 ]" `6 _, U  ?$ s问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。

0 R7 k: ~' l  E% M  o. V9 t为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。
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/ y' a# f6 G; G7 |& X
" g8 o# k% ]: ^方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
0 a$ \) y9 ?  G/ S/ V方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
; d0 {+ O( w. z- }你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。

% o5 x" {1 D* [0 h首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
! e0 u  Y' S# B1 c
% |: \% J' `6 `7 J++,
/ W0 s' s% b" x- b8 R+-++,-+++,
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
                                                                                                。
8 d8 t! ^: G# ?3 g* a在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为

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* K% w8 I6 e# J: J+ \
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8 [8 o4 q& g& R% m0 F' s


6 r# [( w# y& Q2 F/ j' ^现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

2 N  s' E4 ^; O6 _++,+-+,
-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
-+-+++,-+-++-+,
                                 
1 t7 Q2 b0 k% y6 D, U9 d' }* _6 a, ,
                                                                                。

仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
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0 x4 X/ j' w% V' r. ?) R



最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。

  G; I7 j& m9 {% h现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。
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这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？
% p$ n. N( c9 W$ a
现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。


情况一：  
  \' P; O1 t# c' y5 s# ?. X此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

情况二：  
! m2 m; O4 l1 o; Y/ n) f% m此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。

. i; F/ \  K& L% j3 ]情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。

现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。
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& p- u6 s9 d- E3 C( q9 ~3 O由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。
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如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。
* w0 D( X# e! q# C

. A+ O! E1 E6 X8 ^6 g情况一：  
+ ]8 C$ y% k. J1 ~5 b假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此


4 y& H- e" d8 ]
3 @+ ?' H% j4 o, F% X5 e$ J
. u9 y& `! n! L+ |' m4 h

, I( G" K- A: {& s7 ?) M这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。

  A( c; h, h$ g  h: o4 a6 w; R6 r情况二：  
  D" d. ]+ L7 i/ L2 ~* A, f令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
" A" F1 U4 F' U. ^, y
/ D2 z% U. ~5 p




这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
2 ^0 }$ U3 g, g. R' I" A2 ]利用p+q=1，上组方程式可改写为
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: F6 g$ |, [2 ~9 a
# @+ f2 r* Y5 @; P' ~& P$ H* W; x& z3 G
两边相加，并利用 、，得
( u& b3 a7 n; z

8 W/ O& S1 N& W  ]2 |6 \4 Y


4 n# Q( t* U; b8 i% F
若取前 c 项相加，则得


9 m& X1 ]" D9 A- |2 A7 p
6 P3 B4 T3 n4 B/ s  b8 O2 @$ ~' m( ?


3 u1 s9 @& j4 @& d情况三：  
仿二之解法，可求得

5 B$ P0 l6 q) J% `
& m6 N8 Z, v: F. ]( ^7 {  z


/ _/ X- y0 u( l, B2 s: B

0 L# h8 J+ U- H' `, Y5 F; m保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。

首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
+ M9 F7 [: {, _7 z
7 O( u! G2 L5 M! t* q) n
定理：
6 K7 b8 [6 d* N6 E% ]1 u! M! _设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
: r& w5 c/ b7 x) G" Z* G% V! k, j( T" a此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。

现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
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5 @9 X# Z1 ^* @" a首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。

  ?) d3 K1 S5 t! k至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则

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! L  i- P5 a, s9 ?8 s& S


% J6 z  t7 M) X8 b% h' o* C. B8 w$ }


2 j* P0 T  q* Q$ P$ S! \其中  为所下注之金额。利用

8 q1 b  }) K  U- ]9 A9 Q6 L! \& [# B
: C" W$ F! L, x& M2 _- W/ @3 i7 c

7 {! ^1 z7 [) B
( X4 {( D% }1 _$ J+ Z' `* R! [


可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但

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4 P0 P9 @/ i8 k$ e) U7 S

) Q3 _, W+ b6 e2 q* }7 N$ I: w
- _. b  }0 W) J( L( f1 a4 `因此可得在情况二， 时，


4 g3 q1 p9 F1 [' L* M

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# ~4 J* N6 D1 F) @' Q, N2 n4 W+ S
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& O/ _2 u1 ?7 i* q* D) T( Z; L
而在情况三， 时，

4 b7 K  w; G& k, D' c) l( u3 W' a
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* `" P" n, Y* S$ P

) }+ u% s+ K, f9 F

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但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。

至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
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附录

: g# h  A1 s* C  A% x! s, W# g8 D2 X
在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为
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6 f$ u/ W% i) k( x. n另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太深奥了！！！！！！！！！！

我也来学习下

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

好文章,学习了.

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。