随机赛程的最佳策略

引言
. ?: j9 p0 M+ H) O1 f0 p, C) O% a
: c% y1 M4 v& @% m/ a在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
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; `3 T: [4 I  _问题
% b( {+ c, |. n; Q3 x  B

有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？

当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。
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本文
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问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。
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2 n: Z0 ]; G( w* m) u9 X: T# u为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。
; m: Q  i" B; y7 [" A! P1 ]

3 J/ R9 T3 w7 c. h# x9 H% R方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
. P0 g0 A' O4 _# z; u方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
# [, S" ^& a+ w* T你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
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0 {/ a& L2 B+ Y9 R首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
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: k- b. v% j9 X. T* ~+ h) R& ~: g++,
+-++,-+++,
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
* s: ?" {' A+ L  \& e                                                                                                。
6 B( o/ ?; G; O+ H3 w3 }在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为


* C& X+ D6 U. ^




9 u- Q2 a' \* S  _


现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

' x" d$ K) l  `& m* B++,+-+,
-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
-+-+++,-+-++-+,
; C: O6 q: N; w/ l6 L                                 
, ,
! c' U, v' k/ R: A+ X8 b# v5 s                                                                                。
, O; v, U. z/ F
& u  L  v. V+ t& C! o仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
% b' ?- q9 v$ g9 z, d8 e1 G


0 O6 j4 z) o9 G5 B; l9 u% o




最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。

现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。

这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？

现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。

3 o3 n' c' s/ b' n0 T( N+ [
情况一：  
此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

情况二：  
此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。

情况三：
$ z& e1 s* X7 L- n8 _此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。

" q4 e) r7 M; q* Z3 j# A' B现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。
- i# Z; K& O4 P  E, e8 n* _
由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。

如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。


情况一：  
假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
$ H$ q2 {  {0 \5 Z% S7 F1 l- O& S. N
) g9 P4 f) t6 Q* V- A. e6 |& G1 N


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! D" r$ B0 {4 S! L) B9 ]
: ?) l) I$ F+ r+ q/ e9 s  O这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
7 ^7 j4 }9 W3 J6 L5 O  b
5 p& G7 U7 ~! c情况二：  
1 @1 r3 o2 L! o3 n$ i: p+ S令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式

# \6 j0 q1 ^7 h8 l
' x7 m, H4 N, ]3 @



) B: |! y$ m5 \8 v/ b) w* o这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
利用p+q=1，上组方程式可改写为
$ e, v! J8 l: J8 G- s% e

7 f/ k) l5 R3 C% \4 A
2 ~3 N: C/ U  w4 o0 x* g

- y( ?+ R+ o! b
两边相加，并利用 、，得

5 [7 E* ~, E, X
9 v, ]9 I( g+ c) E8 l; j


% p' |. U  I4 t1 J: P( D9 ?
若取前 c 项相加，则得




( K0 ~% ^+ \, K0 R( U

0 K% Q# d4 ~9 ?情况三：  
6 t" x4 e- Q% P" w: g# L仿二之解法，可求得
0 _* M, W$ y/ o/ S" {  T

5 W9 ~9 p0 v8 z' v/ y. j

1 H2 Q1 S, \3 c$ R& k1 N
( r& }7 `8 x; |: B3 k, ]7 V
- A; r* [# r8 M
- R* ?5 c9 j/ u* W6 l: m/ p1 m; x保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。
' W( ^0 i9 f4 H9 _
首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
$ F7 l1 i2 i0 E) H% j

定理：
  J" {* Q7 e2 H设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。

# `# ?  n# U! I) y: M. a$ T现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
  N$ ^$ l" H+ Z+ m" S7 H3 m
首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。
2 f3 ^( P* V  b/ k6 H
至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则

$ b/ _, w8 e) ?" S& D: o) j! E

( v) x. E, D; L
4 c* ~. }$ t5 {+ F



其中  为所下注之金额。利用

  R1 b! N1 \% J% \  p# O7 ~) E


! t; X+ _9 R1 F8 h& U
0 B6 Y% O" a# f5 r
3 C6 U3 Q' n6 p9 O
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( v8 g; v3 P* L. q3 T9 L可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但

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0 O( F7 x, s/ D% k* S- q

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因此可得在情况二， 时，

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" [* [# ~) P6 ^' n
- _( B4 G) S3 }) T, G" @: f6 }0 M* `
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而在情况三， 时，

7 t6 e0 `3 S* X. {* n6 v
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  B$ J# O! x4 A; P" e

但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。
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至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。

$ M; Q% P) Q# n8 t附录

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9 K1 U2 m% ?$ H在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为
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9 I, _& ~% p) V/ _8 b, S8 I8 H

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9 W" J1 g1 @7 X( _  @, R$ q" l  P
& y7 K& l( c/ A1 V, C/ k% ^' w/ L2 m另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太深奥了！！！！！！！！！！

我也来学习下

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

好文章,学习了.

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。