随机赛程的最佳策略

引言

' H# X6 S0 O5 b$ `在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
5 j: G' j- o* b9 ^
问题

9 P+ H' a% r+ S* I: j
有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？

6 U2 |6 D* }9 e# k7 z' @当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。

8 [& n# X- y* k6 v6 F8 L7 \5 n本文
1 \" u- b+ G+ W* z+ ^+ G+ ?2 R
. {" z- i. G4 O- Y0 Q
" q/ c! @" w. Q. c- D" G问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。

: V* W$ q4 ]  ]  L' z为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。
$ G& R/ Z. d& A) I3 W
& R5 y+ l- Q# @* c2 l7 Q. @
方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
9 O5 D5 J8 ]$ g- r, Q$ M% s
, h- w, T& u3 r8 S( k3 U( ?首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
" H4 n; W( l9 G- ]' n9 `
++,
. P: a# k$ d8 c1 Y, r+-++,-+++,
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
                                                                                                。
; |: a8 N8 S* {1 a0 K# s  u8 v在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为
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3 ^( m: L& P. x
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9 T. ?6 \) R- V1 h
现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。
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1 I4 L% n- `+ m$ q$ \8 A++,+-+,
: r/ \  o, L/ X! @8 O( |" l8 x-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
  F3 g& n( N6 }+ H% d7 f-+-+++,-+-++-+,
* S9 M. g, a; [& P& z+ @0 [                                 
, ,
                                                                                。

仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
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1 ]8 T: u0 p/ B. j" t5 r
% E" v  P9 V: a+ q* s. N5 c


- n7 b( \- ?9 M/ Z3 W

最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。

现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。
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这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？
0 d, J/ a' y$ P; I* c3 l6 }
3 z# o/ D$ V' @' ^现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。

9 h3 [1 v; t5 n% _8 R
情况一：  
6 v9 I- e9 I3 D" E0 f5 i  h此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

7 `5 M5 P# _3 F/ A8 Z  o! ~3 U2 y情况二：  
5 ~7 F+ t+ q% o8 t% v此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
" d6 S: K/ z. h/ g% @
情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。
2 C% j: W) K7 I3 v5 q2 \
现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。
9 ^$ b. c& a1 _
由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。

( R8 m7 a. v" K2 D8 _如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。

& x' |8 y4 U, P* A9 g4 ?
情况一：  
假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
  o7 N  [6 I5 E" u4 a* r

9 a  R& `$ ?* S2 z+ {( e


2 V& k6 U( a1 R1 _0 G% y
这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
8 O7 v& \/ U* m+ p, R
情况二：  
4 m4 C* ~! s0 x- |. X6 s2 a令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
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" J8 @! @. X( p- ~: E2 u" o  B0 d
/ L8 m; g+ v3 H& z# \1 H

- y9 G+ m1 R* Y" s7 ]3 }
' ]6 }. m% f* d( u这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
利用p+q=1，上组方程式可改写为

* l6 B5 l% w3 {

2 L( |1 X8 k5 g' M7 o
# l( s8 B3 f7 S+ t' I
) Z' ~4 N1 @8 ^5 p9 P
两边相加，并利用 、，得


" H$ x& L; G- T* d+ ~* t


' M+ l, N5 H) |- ?" L) Z
若取前 c 项相加，则得
8 w3 @# I: }8 l; z6 L/ w$ F


* i- p& x' T/ n' t" v( z/ @
7 P) i; s0 s' o" K$ h

情况三：  
! q4 w9 M2 N  ?* f$ y仿二之解法，可求得

1 k% H+ {, A# O2 I# p
; P$ ]( M- _% f$ ~( W  {- M
: T$ _9 R/ M6 F8 p

9 F* c8 W9 ~' Y/ R; b( k

保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。

首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
3 r$ h, v3 m5 V- k2 o

定理：
( _- }1 X4 j! [% q' J* H* C0 n设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。

现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。

首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。
+ f9 K  n1 A! }/ a/ Y
至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则

  ^8 u$ E% E- |  S) F9 C  |. I/ P
3 @+ L; d& P$ a* B/ \0 R9 P# T
  }  o. w2 Y$ e8 ~1 s; N9 z! M8 n




其中  为所下注之金额。利用
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- p0 P9 [2 Z5 S" V& k

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0 ?$ `& U% _& r' B0 S" v5 i
7 O$ Q1 D: l( F9 P, M, G可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
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& a7 x: J6 T# l4 V' g! o

8 S5 ?% a# E  L5 E  s
/ }* c' H- H+ }4 w' u2 f
因此可得在情况二， 时，
5 z5 k* V. ]1 U* h
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# t/ j  G) F6 ~2 p
/ |0 q$ P7 O" {9 s而在情况三， 时，
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: Y; h5 I( @) S8 J


但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。
( `; y8 E$ |% [
- j* w3 W3 M& N7 T. [至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。

附录
9 r) g" j' F0 y! \5 E% O
* j8 `" v, i. U( P0 N
在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为

' d% F0 n5 T* x% G1 b  w
  c, w- X; F8 `# N% M$ M
* j: x& c' i: |5 z4 [+ G; T( z3 y



( c+ L1 m: }" `+ j5 l" u* @6 j
另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！