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本帖最后由 九嶷风 于 2023-12-14 11:51 编辑
4 x8 z3 J, c, d2 ^+ X5 [2 ~7 i: `. C& V8 L( f p
我们知道DB就是概率的游戏,也正是一些奇特的DB结果引起了数学家帕斯卡6 `0 M5 K' v+ n/ \7 u
# B. S, l) Y1 K- \
(Pascal)和大数学家费马(Fermat)的兴趣,他们通过信件交流,提出了一些概率论的+ c9 l( ~) V& w
7 W: Z+ W/ T: s2 W
原理,从而创立了概率论。今天我们就来介绍几个DB中的概率趣题,告诉我们的道理就是,) s' \) Y) n2 G7 t
+ C2 u9 b4 v6 W$ U% K7 B
就算打赌,也要精“打”细算。) Q! a0 {% X( ]& X# W& s, p: `3 I
* Q1 h3 z! s7 K( H
完美的DB
3 A- u; N. K/ D2 T6 Y; q$ _. W* p4 \$ X" G5 n" x6 b7 Z
) r7 y' b5 V1 M- Q' L1 y% ]4 f
NBA球队湖人队和小牛队有一场比赛,两个队都有的忠实粉丝,就叫他们“人族”和“牛族”吧。8 ]" @( @3 Y' S8 v9 v X c: {
# x' w' @8 e* D
粉丝当然都觉得自己支持的球队更可能赢球,所以愿意跟你打赌。假设“人族”认为湖人赢的概
7 S2 s6 {2 Z7 Y0 H) d- T8 e- C0 s% @. s3 D8 A
率为 p,“牛族”认为小牛赢的概率为 q ,p 和 q 都应大于50%。接下来就是有趣的部分了,我0 [ R6 ?/ c- a, a7 A- C; _+ X7 R: N
* g2 k# l7 x# R s- e8 C# ~+ t
们总能很轻易就设计一个方法,分别与“人族”和“牛族”打赌,但不管结果如何,我们都稳赚不赔!/ H6 u. H. i; j8 F, l! P& d1 v
% O: J& G" R3 L, c: _
方法是这样的:我们分别与“人族”和“牛族”打一样的赌,如果我们赢了就得到 y 元,输了就失去 x 元,
3 u( U2 N9 t' |
- D. {( o' E2 i' e) A只要 y>x 我们就赚了。而 x 和 y 只需要满足下面两个简单的不等式,“人族“和”牛族“的期望收益为
! V& L7 s, K7 O6 q
4 l, n2 ]- W( k: W6 L正,就会跟我们打赌:
# R3 S) `9 l' j9 p% `* J: `" q' D- o/ ]
p * x - ( 1-p ) * y > 0
& R/ _2 } ^$ i0 I3 `3 Zq * x - ( 1-q ) * y > 0
; V: ]! s( z* i7 w( x! C加上 y>x 的限制,画出的图像就是三条直线所包围的区域,对于里面的任意一点的坐标值(x,y)就& Q. x7 S: l# J9 Q. I
) L+ j7 T1 i3 \" I5 P0 |
是一个必胜方案。如果p>q, 解就是下图中的蓝色部分:+ c; z& p+ k2 b0 I; y
, J0 c1 e0 X3 S
3 Y$ D# I/ C) z# |$ I2 b* ?! o! u
6 o+ J1 }1 U/ |8 B: w看来这个问题是完美地解决了,可是还有一个疑点,相信读者很快就能发现它的荒谬所在:不管2 q$ N1 D3 `" a' n
A) t- i, ~+ u
“人族”还是“牛族”,他们的期望收益都是正的,也就是说,长久地看,他们都会赚钱,而我们又! s# t; K, ?; `2 h' F5 @6 K: u
2 N2 h5 N! d0 o是稳赚不亏的,那么多出来的钱是哪里来的呢,怎么可能每个人都赚钱呢?4 J- p' o5 n1 m' G
8 [. d- c( L# b+ a: x
5 n. J* a1 B2 @+ b- `6 |三张卡片的骗局0 R2 q2 q3 i5 U' s
, u" @. N! y+ o: L% H+ F
5 D: ^ _' l; W# ]1 E* x/ n这是另一个巧妙的赌局,我们先准备有三张卡片,1号卡片正反面都是黑色,2号卡片正反面都是
5 x [* L! y$ e/ k. U3 e
9 e7 f1 b/ R$ T红色,3号卡片一面是黑色,一面是红色。然后把卡片放进一个盒子里,摇一摇,让对手抽一张平
% s5 b( x! W2 D& X0 C7 u+ C8 q/ X. o. G& e& n. t4 {
放在桌子上。接着和他赌反面的颜色和正面一样。这个赌局看起来是公平的,比如抽到一张表面
$ W" E0 E8 _6 R+ i' l+ N/ b
, H4 L3 o9 h1 Q! I q' L是黑色的卡片,那么卡片不是1号就是3号,反面的颜色不是黑色就是红色,直觉上概率各占1/2。6 Z' R7 v2 p% r6 [6 s- }
) y) Q% J. r7 G: W" n( s# S; ]/ p
事实上我们赢的概率不是1/2,而是2/3,这个赌局最迷惑人的地方是卡片的“两面性”。玩家抽的不
; P; C! f+ o' m9 n' a
; l: Q+ x& m2 l6 @是3张牌,而是6个面:3个黑面,3个红面。我们把这6个面编上号A、B、C、D、E、F:, ^3 e4 ]% }+ j. G7 }/ K
# p* J( D9 W3 W5 x4 U6 W- k
3 V4 g: [* v8 N. m& k9 W' _
) K4 F z+ r/ G8 _& M# \9 W& e, J9 s# O+ ^5 m) S; V
|7 J- ^0 g# V4 r# c3 }5 U
当玩家抽到黑面时,也就是A、C、D三种等可能的情况,它们的背面则分别是D、F、A,黑色& z5 Q$ A! J% z- e
+ S$ c" V4 m% t9 |; x5 b的情形占了2/3。
* D U, b6 n3 Z. ]: D. F
# g: o, ~ W+ Y7 x3 a; S; X% e1 D这个问题最早于1889年由法国数学家伯特纳(Joseph Louis François Bertrand)提出,因为这) ^- Y' y* R- v$ I& l
# R9 r `- g2 b7 r' k
个问题的结果出人意料,它又被称为“伯特纳箱悖论(Bertrand's box paradox)”。1950年美国" n$ m! m3 x3 H
) x% d: {6 z7 V) O; i$ i数学家沃伦•韦弗(Warren Weaver)介绍了上面的卡片玩法,马丁•加德纳(Martin Gardner)$ ~& V" l2 }* ^
' o: @& j1 @5 C7 j. t( K, `
称之为“三张卡片的骗局(three-card swindle)”。4 i% e, V$ w$ N& L# F# U7 w$ H! _
6 B/ n2 a6 V: q X) S9 P/ o; v' Q
如此不平凡的黑桃A
7 T2 v" t! z) h8 E
2 m% k& D! M# D+ o% \2 I有时候我们DB一开始会放水,先让别人赚些小钱,放长线钓大鱼,最后来个一网打尽。下面1 B' c3 r# y( c) x
$ Z; [; i% D: x+ f# `- J a
就是一个绝佳的范例。四个人在打桥牌,我先说:“来打个赌吧,我现在有一张A,你们猜猜我
y: V$ o o9 U% A! L: s) F- t! E7 I% N$ X" M" u
还有没有更多A?”这种情况下你很可能会输,这时你在心里默默指定一个花色的A,比如说黑桃A,
% J1 o# t" ^# z8 O, r4 D1 Z( x$ t& t& d; n/ [; z
当某一轮抓到一张黑桃A后,这时机会就来了:“再打一个赌吧,我现在有一张黑桃A,你们猜猜我
3 Z6 N+ h# h0 T" s) Z. { ~3 d; {% @- S. C* m+ t8 I
还有没有更多的A?”' E4 T; y) J! G; g! I% }9 v. H2 M
# I# c3 m4 O% V, v# r
很多人肯定觉得两个赌根本没什么不同的嘛,加了个黑桃并不要紧。可它们间的区别,大到令人
( N, }! l( y) m
4 v1 h: Z0 O5 z1 v4 \8 W不敢相信。我们就先算算第一次赌的概率吧:6 A5 Y% q5 i* P8 g9 q! p+ V* A
. [6 L" \+ {6 k0 E没有A的情形:C(48,13)0 |9 _1 }( t7 S( G3 h4 ~; _+ h
/ }" r6 Z# S7 O/ k: @' q至少有1张A的情形:C(52,13)-C(48,13)6 G1 z' f! B( e) [/ n
% P6 A3 p9 T/ w& E
恰好有1张A的情形:4*C(48,12)
% h" o3 f* l, R- n/ Y+ m% c6 {6 `( J6 D( d! Y; h
至少有2张A的情形:C(52,13)-C(48,13)-4*C(48,12)
4 H5 v0 |& s, W$ K
! w! d0 s: D8 i) P. v3 q! Y事件X为至少有两张A,事件Y为至少有一张A,那么条件概率为:* m% A6 L! a8 Q8 y3 @* y( U
/ N5 D# B! L+ h9 B2 D6 O
P(X|Y)=P(XY)/P(Y)=(C(52,13)-C(48,13)-4*C(48,12))/
3 d0 I: W7 t& k; N(C(52,13)-C(48,13))≈37%
a" `& N4 f( N1 M% w/ }" [0 L2 S0 }: ^# C: v
这个时候我要赌自己还有A,比较容易输掉。但是有了第一个赌的铺垫之后,大家1 Y! h4 T$ l, e, p
打赌的意愿都被调动起来了,一看第二个赌不就是换了身衣服嘛,纷纷加大赌注,
% Z7 H% W& r. C, X2 {3 Q5 A2 [
6 |: u! D0 l, @ ?) p接着赌我没有更多A,正中我们下怀。下面我们将发现第二个赌的概率已经大大不同:
* b3 z6 k+ ~; o6 |/ n1 f; O
5 n9 \3 N' }+ x; u; l) I9 L) p有黑桃A的情形:C(51,12)( o/ h6 M) J6 c& s9 `$ r l2 A
1 p& m' W7 ]" J% d- j
没有其它A的情形:C(48,12)
9 X3 C3 X' h5 d% r5 Z% C' Y, K% _, F4 S2 n; w
还有其它A的情形:C(51,12)-C(48,12)* P% J. W2 I5 j% s9 B- M/ i
7 r& D5 X# N0 b3 `% j7 ~事件X为还有其它A,事件Y为有黑桃A,条件概率为:
, }2 @5 k+ A( b/ C/ V4 m* x8 V
! _, W1 ~9 F6 F( L* z* Z+ c, Q# @# eP(X|Y)=P(XY)/P(Y)=(C(51,12)-C(48,12))/C(51,12)≈56%。
' q6 a8 p* N0 B" O/ S2 J* S) }) N w6 o( p3 w/ ?: k1 c4 v7 [. \; @ u* ?7 P
掌握了概率论,DB就只是概率游戏了,当然我们是反对欺骗的,以上各种游戏只建议
, J8 J& i0 k7 S0 A
! x4 P- d j4 W/ l8 _/ t- I1 s; d, D在朋友间进行以活跃气氛。还有一点很关键,打赌的时候,演得逼真点,别让他们知道
9 n3 ^+ q$ t$ J+ A- m$ x3 G6 s1 {* L8 [
你是传说中的死理性派!! s C# O( C2 U! A
0 R! l, H9 @' B* r! @0 \# C3 e+ u
% M9 g5 h/ P2 k9 `+ J. X, [
; X% [1 a" H# W1 I7 Z# W1 J1 G. W8 |3 |9 h
& J3 T' {/ i7 \* t) D i
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